Исследование функций на монотонность — Гипермаркет знаний. Исследование функций на монотонность и экстремумы

…Нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира …

Н.И. Лобачевский

Цели занятия:

• Обучающие:
  • Знание – студент знает определение критической (стационарной) точки, признаки возрастания и убывания функции и признаки максимума и минимума функции, алгоритмы нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции.
  • Понимание – студент имеет представление о применение данной темы в экономических процессах.
  • Применение – студент применяет изученный материал при непосредственном нахождении промежутков монотонности и точек экстремума функций.
• Развивающие
  • Анализ – студент сравнивает ранее известную информацию с новой, понимает необходимость изучения данной темы для дальнейшего роста как специалиста в области экономики и бизнеса.
  • Синтез – студент умеет применять знания в конкретной ситуации, правильно формулировать задачи и излагать мысли.
• Воспиттельные:
  • Оценка – студент выделяет ошибки в рассуждениях, научился отвергать ненужную или неверную информацию, учится критически мыслить.

Вид занятия: ознакомление с новым материалом.

Метод: РКМЧП: лекция с остановками, прием «Корзина», прием «Кластер»

Время: 80 мин.

Оборудование: мультимедийный комплекс (компьютер, проектор).

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. Организационная часть (1 мин)

Приветствие. Отметить отсутствующих.

II. Стадия вызова (8 мин)

Прием «Корзина».
На доске в центре изображена корзина.
Цель: Актуализация опыта и предыдущих знаний обучаемых.

Преподаватель: О каких свойствах функции вам уже известно? В течение 1 мин вспомните и запишите в тетради все, что помните и знаете.
Преподаватель: Теперь в течение 2 мин обменяйтесь информацией с товарищем.
Преподаватель: Назовите какое-то одно сведение от каждой пары, не повторяясь.

Преподаватель записывает эти сведения в корзину. (Приложение 1 )

III. Стадия осмысления (63 мин) – прием лекция с остановками

Преподаватель: Какие из этих свойств вы не можете определять алгебраическим способом?
Преподаватель: Правильно, сегодня мы научимся находить возрастание и убывание, максимум и минимум функции. Запишите тему нашего занятия. Сейчас вы прочитаете первую часть лекции и запишите в тетради

1-я часть. Исследование функции на возрастание и убывание (монотонность).

Определение. Точка называется критической (стационарной), если она является внутренней точкой области определения и производная в ней равна нулю или не существует.

Признаки возрастания и убывания функции:

Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а ; в ), т.е.f"(x ) > 0, то функция в этом интервале возрастает.
Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а ; в ), т.е.f" (x ) < 0, то функция в этом интервале убывает.

– А теперь ответьте на вопросы.

Вопросы к первой части:

1. Как найти область определения следующих функций? (Приложение 2 )
2. Что можно сказать о функции, если отсутствуют критические точки?
3. Как найти стационарные точки, в которых производная не существует?
4. Как определять знаки производной на интервалах?

– Сейчас вы прочитаете вторую часть лекции и запишите в тетради.

2-я часть. Исследование функции на экстремум с помощью производной

Признаки максимума и минимума функции:

Если при переходе через стационарную точку х0 производная f "(x ) данной функции меняет знак с « – » на « + », то функция в этой точке х 0 имеет минимум. Если при переходе через стационарную точку х 0 производная f "(x ) данной функции меняет знак с « + » на « – », то функция в этой точке х 0 имеет максимум.

Вопросы ко второй части:

1. Что вы можете сказать о точках экстремума, если отсутствуют критические точки?
2. Что вы можете сказать о функции, если все знаки на промежутках одного вида?
3. Как находить вторую координату точки экстремума?

IV. Практическая часть

Задание 1. Исследовать на возрастание и убывание следующие функции:

Решение. D(f ): х =/= 0.

> 0 при х =/= 0.

Ответ: функция возрастает на (– ; 0) и (0; + ).

2) f (x ) = x 3 – 27x

Решение. D(f ): R.

критические точки

Ответ: функция возрастает на (– ; – 3] и .

Задание 2. Исследовать на максимум и минимум следующие функцию.

Решение. D(f ): х =/= ± 2.

Ответ: экстремумов нет.

Преподаватель: У вас, наверное, возникает вопрос, какое отношение имеет данная тема для будущей нашей профессии? Сегодня у вас в гостях студенты старшего курса. Они расскажут, где применяется данная тема в экономике.

Старшекурсник: Дифференциальное исчисление – широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике – методы предельного анализа, т. е. совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т. п. на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции – это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных). В экономике часто используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т. д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т. е. найти предельный эффект.

Большое значение имеет такое понятие, как эластичность функции . (Приложение 4 )

Эластичностью функции f (x ) в точке x 0 называют преде

Спрос – это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая эластичность спроса E D – это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены. Если |E D | > 1, то спрос называется эластичным, если |E D | < 1, то неэластичным. В случае E D = 0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию.

Пример 1. Пусть цена единицы товара равна С усл.ед., количество единиц реализованного товара равно V. Доход от реализации товара L = CV. Предельный доход равен L "(V).

Функция спроса С = 8 – V. Тогда L = (8 – V)V = 8V – V ‘. При этом С > 0,V > 0, 0 < V < 8.

Решение.

Спрос эластичен при | Еc(V) | >1, т.е. | 1 – 8/V | >1
Решение данного неравенства V Є (0; 4), т.е.
спрос эластичен при V Є (0; 4). На этом интервале L"(V) = (8V – V 2) ‘ = 8 – 2V >0, т.е. доход предприятия растет при снижении цены и продаже дополнительного товара.
Спрос неэластичен при | 1 – 8/V | <1 при V Є (4; 8).
На этом интервале L"(V) = (8V – V 2) ‘ = 8 – 2V < 0.
Следовательно, в случае, когда спрос неэластичен, увеличение объема продажи товара за счет снижения цены приводит к уменьшению дохода.

В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя : наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

2. Максимизация прибыли. (Приложение 5 )

Пусть L = L(V) – функция дохода, получаемое от реализации V единиц товара;
С = С(V) – функция затрат на производство V единиц товара;
П = П(V) – функция прибыли.
Тогда очевидно П(V) = L(V) – С(V).

Для нахождения максимальной прибыли:

П"(V) = L"(V) – С"(V).
П"(V) = 0 при L"(V) = С"(V), т.е. предельный доход равен предельным издержкам. Именно это утверждается в микроэкономике: «Чтобы максимизировать прибыль, нужно, чтобы предельный доход равнялся предельным издержкам».

Пример 2.

Пусть L(V) = 594V – V 2
С(V) = 2V3 – 7V 2

Решение.

П(V) = 594V – V 2 – (2V 3 – 7V 2) = – 2V 3 + 6V 2 + 594V
П"(V) = – 6V 2 + 12V + 594 = – 6(V 2 – 2V – 99) = – 6(V – 11)(V + 9)
П"(V) = 0.V = – 9, V = 11 – критические точки.

Ответ: П max (11) = 5929

Максимизация дохода при дополнительном налогообложении предприятия. (Приложение 6 )Пусть: V – количество единиц выпускаемой продукции;

L(V) – доход предприятия; C(V) – затраты предприятия; П(V) = L(V) – C(V) – прибыль предприятия. Принято решение: ввести дополнительный налог r на каждую единицу продукции. Каким должен быть налог, чтобы доход R = rV 1 , полученный от дополнительного налога, был максимальным? Здесь V 1 количество единиц продукции, выпускаемой после введения налога. Затраты предприятия после введения налога С 1 = C(V) + rV.
Прибыль предприятия после введения налога П(V) = L(V) – С1(V) = L(V) – C(V) – rV.Приложение 3 )

VI. Задание на дом (1 мин.)

1. Исследовать на монотонность функцию f (x ) = 2x 2 – x.
2. Исследовать на экстремум функцию f (x ) = – x 3 + 3x + 2.
3. Издержки производства некоторой продукции определяется функцией 5х 2 + 80х , где х – число единиц произведенной за месяц продукции. Эта продукция продается по цене 280 руб. за изделие. Сколько изделий нужно произвести и продать, чтобы прибыль была максимальной.

VII. Итоги занятия (1 мин.)

Объявить оценки с комментариями

В данном пункте описаны основные условия исследования функций на монотонность и экстремум с помощью производной. Эти условия разделяются на необходимые и достаточные.

Теорема 3 (условие постоянства функции) . Для того чтобы в интервале (a ; b ) функция f (x ) была постоянной, необходимо и достаточно, чтобы ее производная равнялась нулю для всех точек x из (a ; b ).

1). Доказательство необходимости. Пусть функция f (x ) постоянна на (a ; b ), тогда, по первому правилу дифференцирования, ее производная равна 0. Это означает, что необходимость доказана.

2). Доказательство достаточности. Пусть f" (х ) = 0 для всех точек x из (a ; b ). Берутся произвольные точки x 1 , x 2 из (a ; b ), и пусть для определенности x 1 < x 2 . К промежутку [x 1 ; x 2 ] применяется теорема Лагранжа: существует точка x 0 из (x 1 ; x 2) такая, что f (x 2) - f (x 1) = (x 2 - x 1)×f ¢(x 0). Но, по условию, f" (x 0) = 0, следовательно, f (x 2) = f (x 1), т.е. функция f (x ) постоянна на (a ; b ). Это означает, что достаточность доказана. Теорема доказана.

Теорема 4 (необходимое условие монотонности функции) . Пусть в интервале (a ; b ) функция f (x ) дифференцируема. Тогда :

а ) если f (x ) возрастает, то ее производная в (a ; b ) не отрицательна , т.е. f ¢(x ) ³ 0;

б ) если f (x ) убывает, то ее производная в (a ; b ) не положительна , т.е. f ¢(x ) £ 0.

Доказательство. а). Пусть функция f (x ) возрастает в (a ; b ), т.е. для любых x 1 , x 2 из (a ; b ) выполняется соотношение: x 1 < x 2 ® f (x 1) < f (x 2). Тогда, для указанных точек x 1 , x 2 следующее отношение положительное:

Отсюда следует, что производная f ¢(x 1) ³ 0. Утверждение а б ).

Теорема 5 (достаточное условие монотонности функции). Пусть в интервале (a ; b ) функция f (x ) дифференцируема. Тогда :

а ) если f ¢(x ) > 0 на (a ; b ), то f (x ) возрастает на (a ; b );

б) если f ¢(x ) < 0 на (a ; b ), то f (x ) убывает на (a ; b ).

Доказательство. а). Пусть f ¢(x ) > 0 на (a ; b ) и точки x 1 , x 2 из (a ; b ) такие, что x 1 < x 2 . По теореме Лагранжа, существует точка x 0 из (x 1 ; x 2) такая, что f (x 2) - f (x 1) = (x 2 - x 1)×f ¢(x 0). Здесь правая часть равенства положительная, поэтому f (x 2) - f (x 1) > 0, т.е. f (x 2) > f (x 1) . Это означает, что f (x ) возрастает на (a ; b ). Утверждение а ) доказано. Аналогично доказывается утверждение б ).

Пример 9. Функция у = х 3 всюду возрастает, так как с ростом значений х возрастают кубы этих значений. Производная этой функции у ¢= 3х 2 всюду неотрицательная, т.е. выполняется необходимое условие монотонности.

Пример 10. Найти промежутки возрастания и убывания функции у = 0,25х 4 - 0,5х 2 .

Решение. Находится производная данной функции у ¢ = х 3 - х , и строятся промежутки, в которых х 3 - х положительная или отрицательная. Для этого сначала находятся критические точки, в которых у ¢ = 0: х 3 - х = 0 ® х (х + 1)(х -1) = 0 ® х 1 = 0, х 2 = -1 х 3 = 1. Эти точки разбивают числовую ось на 4 промежутка:

- + - + X

-¥ -2 -1 0 1 2 3 +¥

Черт.36.

В общем случае, для определения знаков производной берут по одной точке в каждом промежутке и вычисляют значения производной в этих точках. Но иногда достаточно взять только одну точку в крайнем правом промежутке, определить знак производной в этой точке, а в остальных промежутках знаки чередовать. В данном примере пусть х = 2, тогда у ¢(2) = 2 3 – 2 = 6 > 0. В правом интервале ставится знак +, а затем знаки чередуются. Получено у ¢ > 0 на промежутках (-1; 0) и (1; +¥), следовательно, исследуемая функция на этих промежутках возрастает. Далее, у ¢< 0 на (- ¥; -1) и (0; 1), следовательно, исследуемая функция на этих промежутках убывает. Ниже на чертеже 37 построен график этой функции.

Определение 3 . 1). Точка х о называется точкой максимума функции f (x ), если существует интервал (a ; b ), содержащий х о, в котором значение f (x о) наибольшее, т.е. f (x о) > f (x ) для всех х из (a ; b ).

2). Точка х о называется точкой минимума функции f (x ), если существует интервал (a ; b ), содержащий х о, в котором значение f (x о) наименьшее, т.е. f (x о) < f (x ) для всех х из (a ; b ). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема 6 (необходимое условие экстремума функции ). Если х о является точкой экстремума функции f (x ) и существует производная

f ¢(x 0), то f "(x 0) = 0.

Доказательство аналогично доказательству теоремы Ролля.

Точка x 0 , в которой f ¢(x 0) = 0 или f ¢(x 0) не существует, называется критической точкой функции f (x ). Говорят, что критические точки подозрительны на экстремум , т.е. они могут быть точками максимума или минимума, но могут и не быть ими.

Теорема 7 (достаточное условие экстремума функции) . Пусть f (x ) дифференцируема в некотором интервале, содержащем критическую точку х о ( кроме, быть может, самой точки х о). Тогда :

а ) если при переходе через х о слева направо производная f ¢(x ) меняет знак с + на - , то х о является точкой максимума функции f (x );

б ) если при переходе через х о слева направо производная f ¢(x ) меняет знак с - на +, то х о является точкой минимума функции f (x ).

Доказательство. Пусть выполнены все условия пункта а ). Возьмем точку х (из указанного интервала) такую, что х < х о, и применим теорему Лагранжа к интервалу (х ; х о). Получим: f (x 0) - f (x ) = (x 0 - x )×f ¢(x 1), где x 1 – некоторая точка из (х ; х о). По условию, f ¢(x 1) > 0 и (x 0 - x ) > 0, поэтому f (x 0) > f (x ) . Аналогично доказывается, что для любой точки х > х о тоже f (x 0) > f (x ). Из этих утверждений следует, что – точка максимума, утверждение а ) доказано. Аналогично доказывается утверждение б ).

Пример 11. В примере 9 показано, что функция у = х 3 всюду возрастает, следовательно, она не имеет экстремумов. Действительно, ее производная у" = 3х 2 равна нулю только при х о = 0, т.е. в этой точке выполняется необходимое условие экстремума функции. Но при переходе через 0 ее производная у" = 3х 2 не меняет знак, поэтому х о = 0 не является точкой экстремума этой функции.

Пример 12. В примере 10 показано, что функция у = 0,25х 4 - 0,5х 2 имеет критические точки х 1 = 0, х 2 = -1, х 3 = 1. На чертеже 34 указано, что при переходе через эти точки ее производная меняет знак, следовательно, х 1 , х 2 , х 3 - точки экстремума, при этом х 1 = 0 - точка максимума, а х 2 = -1, х 3 = 1 - точки минимума.

Далее, делается чертеж к этому примеру. Функция f (x ) = 0,25х 4 - 0,5х 2 исследуется на четность : f (-x ) = 0,25(-х ) 4 - 0,5(-х ) 2 = f (x ), следовательно, эта функция четная, и ее график симметричен относительно оси ОY . Строятся найденные выше точки графика и некоторые вспомогательные точки, лежащие на графике, и они соединяются плавной линией.

y = 0,25x 4 - 0,5x 2 0,5 -0,11

1 0 max 1 х Ö `1/3 –0,14 A B

Черт.37.

Теорема 8 (второе достаточное условие экстремума ). Пусть х 0 – критическая точка функции f (x ), и существует производная второго порядка f ¢¢(х 0). Тогда :

a ) если f ¢¢( х 0) < 0, то х 0 – точка максимума функции f (x );

б) если f ¢¢(х 0) > 0, то х 0 - точка минимума функции f (x ).

Доказательство этой теоремы не рассматривается (см.).

Пример 13. Исследовать на экстремум функцию y = 2x 2 - x 4 .

Решение. Находится производная y ¢ и критические точки, в которых

y ¢= 9: y ¢= 4x - 4x 3 ; 4x - 4x 3 = 0 ® x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = -1 - критические точки. Находится производная второго порядка y ¢¢ и вычисляются ее значения в критических точках: y ¢¢= 4 –12х 2 ; y ¢¢(0) = 4, y ¢¢(1) = –8, y ¢¢(-1) = –8. Так как y ¢¢(0) > 0, то x 1 = 0 - точка минимума; и так как y ¢¢(1) < 0, y ¢¢(-1) < 0, то x 2 = 1, x 3 = -1 - точки максимума данной функции.

Абсолютными экстремумами функции на сегменте [a ; b ] называются наибольшее и наименьшее значения f (x ) на [a ; b ]. Эти экстремумы достигаются или в критических точках функции f (x ), или на концах сегмента [a ; b ].

Пример 14. Определить наибольшее и наименьшее значения функции у = х 2 ×lnx на промежутке .

Решение. Находится производная данной функции и ее критические точки: у ¢ = 2x ×lnx + x 2 ×(1/x ) = x ×(2lnx +1); x ×(2×lnx +1) = 0 ® а) х 1 = 0; б) 2×lnx + 1 = 0 ® ln x = -0,5 ® х 2 = e - 0,5 = 1/Ö `e » 0,607. Критическая точка х 1 = 0 не входит в рассматриваемый промежуток , поэтому находятся значения функции в точке х 2 = e - 0,5 и на концах а = 0,5, b = e . у (e -0,5) = (e - 0,5) 2 ×ln (e - 0,5) = e - 1 (-0,5) = -0,5/e » -0,184; у (0,5) = 0,25×ln 0,5 » 0,25(-0,693) = -0,17325; у (e ) = e 2 ×lne = e 2 ×1» 7,389. Выбираются наибольшее и наименьшее среди найденных значений: наибольшее значение »7,389 в при х = е , наименьшее значение » -0,184 в при х = e - 0,5 .

Задачи на экстремум.

В таких задачах рассматриваются две переменные величины х и у , и требуется найти такое значение х , при котором значение у является наибольшим или наименьшим. Решение такой задачи содержит следующие шаги:

1) выбирается экстремальная величина y , максимум или минимум которой необходимо найти;

2) выбирается переменная х , и y выражается через х ;

3) вычисляется производная у " и находятся критические точки, в которых у " равна 0 или не существует;

4) исследуются критические точки на экстремум;

5) рассматриваются значения y на концах, и вычисляется требуемая в задаче величина.

Пример 15. Экспериментально установлено, что расход бензина

у (л) на 100 км пути автомобилем ГАЗ-69 в зависимости от скорости х (км/ч) описывается функцией у = 18 - 0,3х + 0,003х 2 . Определить наиболее экономичную скорость.

Решение. Здесь первые два шага 1) и 2) выполнены в условии задачи. Поэтому сразу вычисляется производная: у" = -0,3 +0,006х , и находится критическая точка: -0,3 + 0,006х = 0 ® х о = 50 . Теперь, прменяется второе достаточное условие экстремума: у"" = 0,006 > 0 в любой точке, следовательно, х о = 50 - точка минимума. Вывод: наиболее экономичная скорость равна 50 км/ч, при этом расход бензина равен 18 - 0,3×50 + 0,003×50 2 = 10,5 л. на 100 км.

Пример 16. Из квадратного листа картона со стороной 60 см вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивают прямоугольную коробку. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим .

Решение. Осуществляются указанные выше шаги решения задачи.

1). По условию объем коробки должен быть наибольшим, поэтому пусть y - объем коробки.

2). За х (см) берется сторона вырезаемого квадрата. Тогда высота коробки будет равна х и основанием коробки будет квадрат со стороной

(60 – 2х ), его площадь равна (60 – 2х ) 2 . Следовательно, объем коробки равен y = х (60 – 2х ) 2 = 3600х - 240х 2 + 4х 3 .

3). Вычисляется производная и находятся критические точки: у" = 3600 - 480х + 12х 2 ; х 2 - 40х +300 = 0 ® х 1 =10, х 2 =30 - критические точки.

4). Производная 2-го порядка равна у"" = - 480 + 24х и у"" (10) = -240, у"" (30) = 240. По теореме 8, х 1 =10 - точка максимума и y max = 400 (см 3).

5). Кроме того, х может принять крайнее значение х 3 = 0. Но у (0) = 0 - это меньше чем y max .

Ответ: сторона вырезаемого квадрата равна 10 см.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20

Общая схема исследования функции

• Найти область определения функции. Выяснить характер поведения функции в граничных точках области определения.
• Выяснить обладает ли функция особенностями: четность, нечетность, периодичность.
• Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

• Выяснить, имеет ли кривая вертикальные и наклонные асимптоты.

• Найти интервалы возрастания и убывания функции. Исследовать функцию на экстремум.

• Найти промежутки выпуклости и вогнутости функции. Найти точки перегиба.

• Построить график.

№ 44.63. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте график

Функция общего вида

№ 44.65. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте график

Функция общего вида

3) Найдем точки пресечения графика функции с осями координат:

№ 44.67. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте график

Четная функция

3) Найдем точки пресечения графика функции с осями координат:

Определите промежутки монотонности и экстремумы функции

 критических точек нет

№ 44.49. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

 критических точек нет

Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.51. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

 критических точек нет

Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.54. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.61. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

возрастающей на промежутке \(X\) , если для любых \(x_1, x_2\in X\) , таких что \(x_1

Функция называется неубывающей

\(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) называется убывающей на промежутке \(X\) , если для любых \(x_1, x_2\in X\) , таких что \(x_1f(x_2)\) .

Функция называется невозрастающей на промежутке \(X\) , если для любых \(x_1, x_2\in X\) , таких что \(x_1

\(\blacktriangleright\) Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными , а невозрастающие и неубывающие - просто монотонными .

\(\blacktriangleright\) Основные свойства:

I. Если функция \(f(x)\) - строго монотонна на \(X\) , то из равенства \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) следует \(f(x_1)=f(x_2)\) , и наоборот.

Пример: функция \(f(x)=\sqrt x\) является строго возрастающей при всех \(x\in \) , поэтому уравнение \(x^2=9\) имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее одно: \(x=-3\) .

функция \(f(x)=-\dfrac 1{x+1}\) является строго возрастающей при всех \(x\in (-1;+\infty)\) , поэтому уравнение \(-\dfrac 1{x+1}=0\) имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее ни одного, т.к. числитель левой части никогда не может быть равен нулю.

III. Если функция \(f(x)\) - неубывает (невозрастает) и непрерывна на отрезке \(\) , причем на концах отрезка она принимает значения \(f(a)=A, f(b)=B\) , то при \(C\in \) (\(C\in \) ) уравнение \(f(x)=C\) всегда имеет хотя бы одно решение.

Пример: функция \(f(x)=x^3\) является строго возрастающей (то есть строго монотонной) и непрерывной при всех \(x\in\mathbb{R}\) , поэтому при любом \(C\in (-\infty;+\infty)\) уравнение \(x^3=C\) имеет ровно одно решение: \(x=\sqrt{C}\) .

Задание 1 #3153

Уровень задания: Легче ЕГЭ

имеет ровно два корня.

Перепишем уравнение в виде: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\] Рассмотрим функцию \(f(t)=t^3+t\) . Тогда уравнение перепишется в виде: \ Исследуем функцию \(f(t)\) . \ Следовательно, функция \(f(t)\) возрастает при всех \(t\) . Значит, каждому значению функции \(f(t)\) соответствует ровно одно значение аргумента \(t\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно: \ Чтобы полученное уравнение имело два корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным: \

Ответ:

\(\left(-\infty;\dfrac1{12}\right)\)

Задание 2 #2653

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при которых уравнение \

имеет два корня.

(Задача от подписчиков.)

Сделаем замену: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Тогда уравнение примет вид: \ Рассмотрим функцию \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Тогда наше уравнение примет вид: \

Найдем производную \ Заметим, что при всех \(w\ne 0\) производная \(f"(w)>0\) , т.к. \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . Заметим также, что сама функция \(f(w)\) определена при всех \(w\) . Т.к. к тому же \(f(w)\) непрерывна, то мы можем сделать вывод, что \(f(w)\) возрастает на всем \(\mathbb{R}\) .
Значит, равенство \(f(t)=f(u)\) возможно тогда и только тогда, когда \(t=u\) . Вернемся к изначальным переменным и решим полученное уравнение:

\ Для того, чтобы данное уравнение имело два корня, оно должно быть квадратным и его дискриминант должен быть положительным:

\[\begin{cases} a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Ответ:

\((-\infty;1)\cup(1;2)\)

Задание 3 #3921

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все положительные значения параметра \(a\) , при которых уравнение

имеет как минимум \(2\) решения.

Перенесем все слагаемые, содержащие \(ax\) , влево, а содержащие \(x^2\) – вправо, и рассмотрим функцию
\

Тогда исходное уравнение примет вид:
\

Найдем производную:
\

Т.к. \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos{2t} \geqslant 0\) , то \(f"(t)\geqslant 0\) при любых \(t\in \mathbb{R}\) .

Причем \(f"(t)=0\) , если \((t-2)^2=0\) и \(1+\cos{2t}=0\) одновременно, что не выполняется ни при каких \(t\) . Следовательно, \(f"(t)> 0\) при любых \(t\in \mathbb{R}\) .

Таким образом, функция \(f(t)\) строго возрастает при всех \(t\in \mathbb{R}\) .

Значит, уравнение \(f(ax)=f(x^2)\) равносильно уравнению \(ax=x^2\) .

Уравнение \(x^2-ax=0\) при \(a=0\) имеет один корень \(x=0\) , а при \(a\ne 0\) имеет два различных корня \(x_1=0\) и \(x_2=a\) .
Нам нужно найти значения \(a\) , при которых уравнение будет иметь не менее двух корней, учитывая также то, что \(a>0\) .
Следовательно, ответ: \(a\in (0;+\infty)\) .

Ответ:

\((0;+\infty)\) .

Задание 4 #1232

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \

имеет единственное решение.

Домножим правую и левую части уравнения на \(2^{\sqrt{x+1}}\) (т.к. \(2^{\sqrt{x+1}}>0\) ) и перепишем уравнение в виде: \

Рассмотрим функцию \(y=2^t\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(t+2)}\) при \(t\geqslant 0\) (т.к. \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\) ).

Производная \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9{(t+2)}\right)"=-\dfrac{2^t}{\ln9}\cdot \left(\ln 2\cdot \ln{(t+2)}+\dfrac{1}{t+2}\right)\) .

Т.к. \(2^t>0, \ \dfrac{1}{t+2}>0, \ \ln{(t+2)}>0\) при всех \(t\geqslant 0\) , то \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Следовательно, при \(t\geqslant 0\) функция \(y\) монотонно убывает.

Уравнение можно рассматривать в виде \(y(t)=y(z)\) , где \(z=ax, t=\sqrt{x+1}\) . Из монотонности функции следует, что равенство возможно только в том случае, если \(t=z\) .

Значит, уравнение равносильно уравнению: \(ax=\sqrt{x+1}\) , которое в свою очередь равносильно системе: \[\begin{cases} a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end{cases}\]

При \(a=0\) система имеет одно решение \(x=-1\) , которое удовлетворяет условию \(ax\geqslant 0\) .

Рассмотрим случай \(a\ne 0\) . Дискриминант первого уравнения системы \(D=1+4a^2>0\) при всех \(a\) . Следовательно, уравнение всегда имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\) , причем они разных знаков (т.к. по теореме Виета \(x_1\cdot x_2=-\dfrac{1}{a^2}<0\) ).

Это значит, что при \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) условию подходит положительный корень. Следовательно, система всегда имеет единственное решение.

Значит, \(a\in \mathbb{R}\) .

Ответ:

\(a\in \mathbb{R}\) .

Задание 5 #1234

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \

имеет хотя бы один корень из отрезка \([-1;0]\) .

Рассмотрим функцию \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) при некотором фиксированном \(a\) . Найдем ее производную: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2+(x-1)^2)\) .

Заметим, что \(f"(x)\geqslant 0\) при всех значениях \(x\) и \(a\) , причем равна \(0\) только при \(x=a=1\) . Но при \(a=1\) :
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\) уравнение \(2(x-1)^3=0\) имеет единственный корень \(x=1\) , не удовлетворяющий условию. Следовательно, \(a\) не может быть равно \(1\) .

Значит, при всех \(a\ne 1\) функция \(f(x)\) является строго возрастающей, следовательно, уравнение \(f(x)=0\) может иметь не более одного корня. Учитывая свойства кубической функции, график \(f(x)\) при некотором фиксированном \(a\) будет выглядеть следующим образом:

Значит, для того, чтобы уравнение имело корень из отрезка \([-1;0]\) , необходимо: \[\begin{cases} f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a(a^2+3)\leqslant 0\\ (a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end{cases} \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Таким образом, \(a\in [-2;0]\) .

Ответ:

\(a\in [-2;0]\) .

Задание 6 #2949

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2})=0\]

имеет корни.

(Задача от подписчиков)

ОДЗ уравнения: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно, чтобы хотя бы одно из уравнений \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad {\small{\text{или}}}\quad \sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0\] имело решения на ОДЗ.

1) Рассмотрим первое уравнение \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=2a+2\\ &\sin x=3\\ \end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Данное уравнение должно иметь корни на \(\) . Рассмотрим окружность:

Таким образом, мы видим, что для любых \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) уравнение будет иметь одно решение, а для всех остальных – не будет иметь решений. Следовательно, при \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\) уравнение имеет решения.

2) Рассмотрим второе уравнение \[\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt{x-x^2}=-a\]

Рассмотрим функцию \(f(x)=8x\sqrt{x-x^2}\) . Найдем ее производную: \ На ОДЗ производная имеет один ноль: \(x=\frac34\) , который к тому же является точкой максимума функции \(f(x)\) .
Заметим, что \(f(0)=f(1)=0\) . Значит, схематично график \(f(x)\) выглядит так:

Следовательно, для того, чтобы уравнение имело решения, нужно, чтобы график \(f(x)\) пересекался с прямой \(y=-a\) (на рисунке изображен один из подходящих вариантов). То есть нужно, чтобы \ . При этих \(x\) :

Функция \(y_1=\sqrt{x-1}\) является строго возрастающей. Графиком функции \(y_2=5x^2-9x\) является парабола, вершина которой находится в точке \(x=\dfrac{9}{10}\) . Следовательно, при всех \(x\geqslant 1\) функция \(y_2\) также строго возрастает (правая ветвь параболы). Т.к. сумма строго возрастающих функций есть строго возрастающая, то \(f_a(x)\) – строго возрастает (константа \(3a+8\) не влияет на монотонность функции).

Функция \(g_a(x)=\dfrac{a^2}{x}\) при всех \(x\geqslant 1\) представляет собой часть правой ветви гиперболы и является строго убывающей.

Решить уравнение \(f_a(x)=g_a(x)\) - значит найти точки пересечения функций \(f\) и \(g\) . Из их противоположной монотонности следует, что уравнение может иметь не более одного корня.

При \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0. Следовательно, уравнение будет иметь единственное решение в том случае, если:

\\cup

Ответ:

\(a\in (-\infty;-1]\cup}